مقاله اصول وابسته به ریاضیات با ترجمه

نظرات 0

اصول وابسته به ریاضیات
مدل عددی جریان سیال و انتقال دما در کانال مربعی، طبق فرایض زیر محاسبه شده اند:
-    یکنواخت، سه بعدی، ورقه ای و جریان سیال تراکم ناپذیر.
-    از نیروهای وارده به بدنه، انتقال حرارت تابشی و اتلاف انرژی صرف نظر میشود.
بر اساس فرایض بالا، میتوان گفت که جریان کانال توسط پیوستگی در فرمولهای ناویه استوکس و انرژی، کنترل میگردد. در سیستم تانسور دکارتی این فرمولها را میتوان به صورت زیر نوشت:
معادله پیوستگی:
 
معادله ممنتوم (مقدار حرکت):
 
معادله انرژی:
 
در این فرمولها،   ضریب انتشار حرارت است و طبق رابطه / Pr (4) به دست می آید.
جدا از معادله انرژی تجزیه شده توسط طرح میانیابی درجه دوم در سینماتیک همرفتی (طرح کوئیک)، معادلات حاکم نیز توسط طرح قانون قدرت تجزیه شده، توسط الگوریتم سیمپل جدا سازی شده و با استفاده از رویکرد حجم محدود محاسبه میشود (11). زمانی که ارزشهای باقی مانده نرمالیزه شده برای تمامی متغییرها کمتر از   و تنها در معادله انرژی کمتر از   باشد، یافته ها را باید همگرا در نظر گرفت.
4 پارامتری که در این مقاله مورد توجه قرار گرفته اند عبارتند از عدد رینولدز، ضریب اصطکاک، عدد نوسلت، و فاکتور افزایش حرارتی میباشند. عدد رینولدز به این صورت در نظر گرفته میشود:
 
فاکتور اصطکاک، f توسط افت فشار Δp در طول کانال متناوب  L محاسبه میشود، به طوریکه :
 
میزان انتقال حرارت توسط میزان عدد نوسلت محلی و به صورت زیر محاسبه میگردد:
و میزان متوسط عدد نوسلت طبق رابطه زیر به دست می آید.
فاکتور افزایش حرارتی یعنی  به عنوان نسبت ضریب انتقال حرارت یک سطح تقویت شده h  و سطح صاف H0، در نیروی پمپاژ برابر تعیین میگردد:
در این فرمولها، Nu0 و F0 به ترتیب عدد نوسلت و فاکتور اصطکاک در سطوح صاف هستند.
در زمان افزایش تعداد سلولها از 120000 به 240000 در دمای 30 درجه در بافل مورب در حالی که BR = 0.2  و Re = 500  باشد تغییرات در متغییرهای Nu و F کمتر از 0.2 % میشود، پس شاهدیم که مزیتی مبرم در افزایش تعداد سلولها در این متغییراها وجود ندارد و سیستم شبکه 120000 سلولی برای محاسبات فعلی در نظر گرفته شده است.
شکل2. بررسی عدد نوسلت (a) و فاکتور اصطکاک (b) در سطوح صاف

4. بحث و نتیجه گیری
1.4. بررسی یک کانال صاف
بررسی انتقال حرارت و فاکتور اصطکاک در کانال مربعی صاف و بدون بافل با مقایسه متغییرهای قبلی تحت شرایط یکسان طبق شکل 2، صورت میگیرد. میتوان نتیجه گرفت که نتایج به دست آمده درباره میزان عددی کانال صاف با ارزشهای محاسبه شده در بحثهای آزاد (11) مطابقت داشته و هم برای عدد نوسلت و هم فاکتور اصطکاک میزان انحراف 0.25 +- درصد میباشد. نتایج دقیق به دست آمده برای Nu و f در جریانهای ورقه ای  در کانالهای مربعی با دمای ثابت بدین صورت میباشد: Nu0 2.98  و  f057 Re  (12).
2.4. شرایط متناوب کاملا کاملا توسعه یافته
جریان تناوبی کاملا توسعه یافته و انتقال حرارت در کانال بافل 30 درجه ای را میتوان با در نظرگیری نقشه های توزیع Nux/Nu0 و ui/u0 (همانطور که در شکل 3 مشاهده میکنید) مورد بررسی قرار داد. در این بررسی توزیع Nux/Nu0 و  u/u0  در طول کانال بافل و مدول کانال بافل دار متناوب، در شرایط  BR=0.2 ، Re=1000  و  PR=1 در نظر گرفته شده اند.
در شکل 3a شاهد پروفیلهای محوری  Nux/Nu0 در موقعیت y/D=0.25  در دیواره انتهایی بافل هستید. در شکل مشخص است که نمایه های محوری  Nux/Nu0 پس از مدول دوم، متناوب میشود و در مدول هفتم یا  x/D7 افزایش یافته و به حالت متناوب توسعه یافته میرسد. این امر نشان دهنده این است که پس از مدول هفتم یا  x/D7 موضوع انتقال حرارت متناوب کاملا توسعه یافته صحت دارد و علت آن این است که در کل آن نمایه متناوب Nu ثابت میباشد. در شکل 3b شاهد نمایه های محوری u/u0 در طول کانال بافل دار در موقعیت y/D=0.25، z/D=0.25 هستید. از این شکل میتوان دریافت که نمایه  در مدول دوم متناوب میگردد و در مدولهای ششم و هفتم همچون شرایط انتقال حرارت متناوب، میل به افزایش و تبدیل به جریان متناوب کاملا توسعه یافته میکند. با در نظر گیری زمان همگرایی و صحت پاسخ، تنها یک مدل کانال انتقال حرارت و جریان متناوب کاملا توسعه یافته در محاسبات بعدی مورد استفاده قرار میگیرد.

 

 

 

Mathematical foundation

The numerical model for fluid flow and heat transfer in a square channel was developed under the Following assumptions: - Steady, three–dimensional, laminar and incompressible fluid flow.

Constant fluid properties.
- Body forces, radiation heat transfer and viscous dissipation are ignored. Based on the above assumptions, the channel flow is governed by the continuity, the Navies–Stokes Equations and the energy equation. In the Cartesian tensor system these equations can be written as Follows:)

where is the thermal diffusivity and is given by  / Pr (4) Apart from the energy equation discretized by the QUICK scheme, the governing equations were discretized by the power law scheme, decoupling with the SIMPLE algorithm and solved using a finite volume approach [11]. The solutions were considered to be converged when the normalized residual values were less than 10-5 for all variables but less than 10-9 only for the energy equation.

Four parameters of interest in the present work are the Reynolds number, friction factor, Nusselt number and thermal enhancement factor. The Reynolds number is defined as

The friction factor, f is computed by pressure drop, Δp across the length of the periodic channel, L as  (6)The heat transfer is measured by local Nusselt number which can be written as The area-averaged Nusselt number can be obtained by

The thermal enhancement factor () is defined as the ratio of the heat transfer coefficient of an augmented surface, h to that of a smooth surface, h0, at an equal pumping power and given by where Nu0 and f0 stand for Nusselt number and friction factor for the smooth channel, respectively.

The variation in Nu and f values for the 30° inclined baffle at BR = 0.2 and Re = 500 is less than 0.2% when increasing the number of cells from 120,000 to 240,000, hence there is no such advantage in increasing the number of cells beyond this value and thus, the grid system of 120,000 cells was adoptedfor the current computation.

Fig. 2. Verification of (a) Nusselt number and (b) friction factor for smooth channel.4. Results and discussion 4.1. Verification of a smooth channel Verification of the heat transfer and friction factor of the smooth square channel without baffle is performed by comparing with the previous values under a similar operating condition as shown in Fig. 2a and b, respectively. The current numerical smooth channel result is found to be in excellent agreement with exact solution values obtained from the open literature [12] for both the Nusselt number and the friction factor, less than ±0.25% deviation. The exact solutions of the Nu and f for laminar flows over the square-channels with constant wall temperature are, respectively, Nu0  2.98 and f0  57 Re ,4.2 Fully developed periodic condition The fully developed periodic flow and heat transfer in a 30° baffled channel can be examined by considering the axial Nux/Nu0 and ui/u0 distribution plots as depicted in Fig. 3a and b. Here the Nux/Nu0 and u/u0 distributions of a full length baffled channel and a periodic baffled channel module are all presented at BR=0.2, Re=1000 and PR=1.

Fig. 3a shows the axial Nux/Nu0 profiles at location y/D=0.25 of the BLE sidewall. In the  figure, it is found that the axial Nux/Nu0 profile becomes periodic after the 2nd module and then, tends to increase to be a fully developed periodic at about the 7th module or at x/D7. This indicates that after the 7th module or x/D7, the concept of fully developed periodic heat transfer is valid due to a constant Nu periodic profile throughout. Fig. 3b displays the axial u/u0 profiles along the baffled channel at location y/D=0.25,

z/D=0.25. It is seen that the u/u0 profile becomes periodic at the 2nd module and tends to increase to be a fully developed periodic flow at about the 6th–7th module or at x/D6–7, similar to the periodic heat transfer condition. With considering both convergent time and solution precision, only a fully developed periodic flow and heat transfer channel model is employed in the next computation.